Question

求方程2x²+5xy+2y²=2006的所有正整数解．

Answer 1

分析：首先将方程因式分解，先设x≥y≥1，则有2x+y≥x+2y＞x+y＞1，得出不同的情况，进行求根，由已知得出正确答案．

解答：解：方程两端分解因式得
（2x+y）（x+2y）=2×17×59．
不妨先设x≥y≥1，则有①
2x+y≥x+2y＞x+y＞1．
由此，只有三种情况：

2x+y=59 x+2y=34

或

2x+y=118 x+2y=17

或

2x+y=1 003 x+2y=2.

由式②、③得x+y=31．
再由

x+y=31 2x+y=59

解得

x=28 y=3

由式④、⑤得x+y=45，与式①矛盾；
由式⑥、⑦得x+y=335，与式①矛盾．
故原方程的正整数解为

x=28 y=3

，

x=3 y=28.

．

点评：此题主要考查了分解因式法解方程，以及涉及到分类讨论思想，题目比较典型．