Question

【题目】今年是全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，为促进销售，某公司开发了A、B两项新产品，销售前景广阔．已知A、B的成本、售价和每日销量如下表所示：

	成本（元/件）	售价（元/件）	销量（件/日）
A	500	700	500
B	800	1050	300

根据销售情况，公司对B项产品降价销售，同时对A项产品提价销售，发现B项产品每降价5元就多销售2件，A项产品每提价5元就可少销售1件，要保持每日的总销量不变，设A项产品每天少销售x个，每天总获利为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）要使每天利润不低于208000元，直接写出x的取值范围；

（3）该公司决定每销售一件A产品，就捐给红十字会a（0＜a≤100）元作为抗疫基金．当40≤x≤50时，每日的最大利润为237250元，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋1800x＋175000（0＜x≤100）；（2）20≤x≤100；（3）20

【解析】

（1）根据每日利润=每件产品的利润×销售量，用含x的代数式分别表示出A、B两项产品的利润，再相加即可求出y与x的函数关系式，进一步即可求出x的取值范围；

（2）由题意可得关于x的不等式，求出不等式的解集后结合（1）题中x的范围即得结果；

（3）设捐款后，每日的利润为w元，先根据（1）题的思路求出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得到关于a的方程，解方程即得结果．

解：（1）y＝(700－500＋5x)(500－x)＋(1050－800－x)(300＋x)

＝100000＋2300x－5x2＋75000－500x－x2

＝－x2＋1800x＋175000，

由x＞0，1050－800－x ≥0，得：0＜x≤100；

（2）由题意，得－x2＋1800x＋175000≥208000，解得：20≤x≤220，

∵0＜x≤100，

∴20≤x≤100；

（3）设捐款后，每日的利润为w元，则

w＝(200＋5x－a)(500－x)＋75000－500x－x2＝－x2＋(1800＋a)x＋175000－500a，

此抛物线的对称轴是直线x＝120＋＞120，

∴当40≤x≤50时，w随x增大而增大，

∴当x＝50时，w最大＝246250－450a＝237250，

解得：a＝20．