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17.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BCD,AC2=CD•BC,E是BC的中点,AC⊥AB.
(1)求证:AD⊥AE;
(2)过E作EG⊥AB,并延长EG至点K,使EK=EB,∠B=30°,求证:四边形AKEC是菱形.

分析 (1)由已知条件易证△ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得∠CAD=∠CBA,再结合已知条件和直角三角形的性质证明∠DAE=90°即可;
(2)利用“在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等,则四边形AKEC是菱形.

解答 解:
(1)证明:∵AC2=CD•BC,
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$,
∵AC平分∠BCD,
∴∠ACD=∠BCA,
∴△ACD∽△BCA,
∴∠CAD=∠CBA,
∵AC⊥AB,
∴∠CAB=90°,
∴∠CDA=90°,
在Rt△ABC中,∵E是BC的中点,
∴EA=EB=EC,
∴∠EAC=∠BCA=∠DCA,
∴AE∥CD,
∴∠DAE=180°-∠CDA=180°-90°=90°,
∴AD⊥AE;
(2)证明:
∵EK⊥AB,AC⊥AB,
∴EK∥AC,
又∵∠B=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}$BC=EB=EC.
又∵EK=EB,
∴EK=AC,
即AK=KE=EC=CA,
∴四边形AKEC是菱形.

点评 本题考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定是解题的关键,此题难度较大.

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