Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且BE＝CF，连接AE、BF，其相交于点G，将△BCF沿BF翻折得到△BC′F，延长FC′交BA延长线于点H．

（1）①求证：AE＝BF；

②猜想AE与BF的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AB＝3，EC＝2BE，求BH的长．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②AE⊥BF，证明详见解析；（2）BH=5．

【解析】

（1）①根据正方形的性质得到BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°，利用SAS证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质证明结论；

②根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠CBF，根据垂直的定义证明；

（2）根据折叠的性质得到∠C′BF=∠CBF，∠BC′F=∠BCF=90°，证明HB=HF，根据勾股定理列式计算即可．

（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF；

②解：AE⊥BF，

理由如下：∵△ABE≌△BCF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠CBF+∠AEB＝90°，即AE⊥BF；

（2）解：∵BC＝AB＝3，EC＝2BE，

∴EC＝2，BE＝1，

∴C′F＝CF＝1，

由折叠的性质可知，∠C′BF＝∠CBF，∠BC′F＝∠BCF＝90°，

∵∠C′FB+∠C′BF＝90°，∠HBF+∠FBC＝90°，

∴∠C′FB＝∠HBF，

∴HB＝HF，

∴HC′＝HF﹣C′F＝HB﹣C′F＝3+AH﹣1＝2+AH，

在Rt△HBC′中，HB2＝C′B2+C′H2，即（3+AH）2＝32+（2+AH）2，

解得，AH＝2，

∴BH＝AH+AB＝5．