Question

8．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）．
（1）则n=2，k=3，b=-1；
（2）求四边形AOCD的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件求得C、D的坐标即可求得答案；
（2）由A、B、C、D的坐标可求得△ABD和△OBC的面积，利用S_{四边形AOCD}=S_△ABD-S_△OBC可求得答案；
（3）可设P（x，0），表示出PC、PD和CD的长，分∠PDC=90°和∠DPC=90°两种情况，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵点DD直线y=x+1上，
∴n=1+1=2，
∴D（1，2），
∵一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1）和点D（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故答案为：2；3；-1；
（2）在y=x+1中，令x=0可得y=1，
∴A（0，1）
由（1）可知一次函数解析式为y=3x-1，
令y=0，可求得x=$\frac{1}{3}$，
∴C（$\frac{1}{3}$，0），
∵B（0，-1），D（1，2），
∴AB=2，OC=$\frac{1}{3}$，OB=1，
∴S_{四边形AOCD}=S_△ABD-S_△OBC=$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$；
（3）设存在满足条件的点P，其坐标为（x，0），
∵∠PCD＞90°，
∴当△PCD为直角三角形时，点P在点C的右侧，
∵C（$\frac{1}{3}$，0），D（1，2），
∴PC²=（x-$\frac{1}{3}$）²=x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{9}$，PD²=（x-1）²+2²=x²-2x+5，CD²=（1-$\frac{1}{3}$）²+2²=$\frac{40}{9}$，
当∠PDC=90°时，由勾股定理可得CD²+PD²=PC²，即$\frac{40}{9}$+x²-2x+5=x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{9}$，解得x=7，此时P点坐标为（7，0）；
当∠DPC=90°时，则有PD⊥x轴，此时P点坐标为（1，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（7，0）或（1，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点、三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中求得△ABD和△OBC的面积是解题的关键，在（3）中设出P点坐标表示出PD、PC的长是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．