Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P（2，3）或（，）；（3）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q3（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）.

【解析】

（1）根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标，已知OC=3OA，即可得到点C的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．
（2）求出点C关于对称轴的对称点，求出两点间的距离与CD相比较可知，PC不可能与CD相等，因此要分两种情况讨论：
①CD=PD，根据抛物线的对称性可知，C点关于抛物线对称轴的对称点满足P点的要求，坐标易求得；
②PD=PC，可设出点P的坐标，然后表示出PC、PD的长，根据它们的等量关系列式求出点P的坐标．
（3）此题要分三种情况讨论：
①点Q是直角顶点，那么点Q必为抛物线对称轴与x轴的交点，由此求得点Q的坐标；
②M、N在x轴上方，且以N为直角顶点时，可设出点N的坐标，根据抛物线的对称性可知MN正好等于抛物线对称轴到N点距离的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，则QN=MN，由此可表示出点N的纵坐标，联立抛物线的解析式，即可得到关于N点横坐标的方程，从而求得点Q的坐标；根据抛物线的对称性知：Q关于抛物线的对称点也符合题意；
③M、N在x轴下方，且以N为直角顶点时，方法同②．

（1）由y=ax2﹣2ax+b可得抛物线对称轴为x=1，由B（3，0）可得A（﹣1，0）；

∵OC=3OA，

∴C（0，3）；

依题意有：，

解得；

∴y=﹣x2+2x+3．

（2）存在．①DC=DP时，由C点（0，3）和x=1可得对称点为P（2，3）；

设P2（x，y），

∵C（0，3），P（2，3），

∴CP=2，

∵D（1，4），

∴CD=＜2，

②由①此时CD⊥PD，

根据垂线段最短可得，PC不可能与CD相等；

②PC=PD时，∵CP22=（3﹣y）2+x2，DP22=（x﹣1）2+（4﹣y）2

∴（3﹣y）2+x2=（x﹣1）2+（4﹣y）2

将y=﹣x2+2x+3代入可得：，

∴；

∴P2（，）．

综上所述，P（2，3）或（，）．

（3）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q3（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）；

①若Q是直角顶点，由对称性可直接得Q1（1，0）；

②若N是直角顶点，且M、N在x轴上方时；

设Q2（x，0）（x＜1），

∴MN=2Q1O2=2（1﹣x），

∵△Q2MN为等腰直角三角形；

∴y=2（1﹣x）即﹣x2+2x+3=2（1﹣x）；

∵x＜1，

∴Q2（，0）；

由对称性可得Q3（，0）；

③若N是直角顶点，且M、N在x轴下方时；

同理设Q4（x，y），（x＜1）

∴Q1Q4=1﹣x，而Q4N=2（Q1Q4），

∵y为负，

∴﹣y=2（1﹣x），

∴﹣（﹣x2+2x+3）=2（1﹣x），

∵x＜1，

∴x=﹣，

∴Q4（，0）；

由对称性可得Q5（+2，0）．