Question

5．如图1，△ABC中，两条角平分线BD，CE交于点M，MN⊥BC于点N，将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2．∠CMN记为∠3．
（1）若∠A=98°，∠BEC=124°，则∠2=26°，∠3-∠1=49°；
（2）猜想∠3-∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC=α，∠BDC=β，如图2所示，用含α和β的代数式表示∠3-∠1的度数．（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （1）利用三角形外角性质得到∠BEC=∠A+∠ACE，则可计算出∠ACE=26°，再根据角平分线定义得到∠2=∠ACE=26°，接着在△BCE中计算出∠EBC，从而得到∠1的度数，然后利用互余求∠3=64°，最后计算∠3-∠1；
（2）利用三角形外角性质得∠BMC=∠MDC+∠DCM，∠MDC=∠A+∠ABD，即∠BMC=∠2+∠A+∠1，再利用三角形内角和得到180°-∠1-∠2=∠2+∠A+∠1，然后把∠2=90°-∠3代入后整理得到∠3-∠1=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）利用三角形外角性质得∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠A+∠ABD，加上∠1=∠EBM，∠2=∠DCM，则α=∠A+∠2，β=∠A+∠1，把两式相加后把∠A=∠3-∠1代入得到α+β=2（∠3-∠1）+90°-∠3+∠1，整理即可得到∠3-∠1=α+β-90°．

解答 解：（1）∵∠BEC=∠A+∠ACE，
∴∠ACE=124°-98°=26°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠2=∠ACE=26°，
∴∠EBC=180°-∠2-∠BEC=30°，
而BD平分∠ABC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∵MN⊥BC，
∴∠3=90°-∠2=90°-26°=64°；
∴∠3-∠1=49°，
故答案为26，49；
（2）∠3-∠1=$\frac{1}{2}$∠A．理由如下：
∵∠BMC=∠MDC+∠DCM，
而∠MDC=∠A+∠ABD，∠DCM=∠2，
∴∠BMC=∠2+∠A+∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠ABD，
∴∠BMC=∠2+∠A+∠1，
∴180°-∠1-∠2=∠2+∠A+∠1，
∴2∠2+2∠1=180°-∠A，
而∠2=90°-∠3，
∴2（90°-∠3）+2∠1=180°-∠A，
∴∠3-∠1=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠A+∠ABD，
而∠1=∠EBM，∠2=∠DCM，
∴α=∠A+∠2，β=∠A+∠1，
∴α+β=2∠A+∠2+∠1，
而∠A=∠3-∠1，
∴α+β=2（∠3-∠1）+90°-∠3+∠1，
∴∠3-∠1=α+β-90°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．正确运用角平分线和三角形外角性质是解题的关键．