Question

2．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，可得S_{四边形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故④正确．

解答 解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；

∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，
∴S_△AEF=$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD，
又∵S_{四边形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，
∴S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故④正确；
故选：A．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．