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    18．如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞1）交x轴正半轴于点A，过点P（1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C，连结CB，CP．
    （1）用含m的代数式表示BC的长．
    （2）连结CA，当m为何值时，CA⊥CP？
    （3）过点E（1，1）作EF⊥BD于点E，交CP延长线于点F．
    ①当m=$\frac{5}{4}$时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；
    ②延长EF交AC于点G，在EG上取一点H，连结CH，若CH=CG，且△PFE与△CHG的面积相等，则m的值是$\frac{5}{2}$．

    分析 （1）先确定B（1，2m-1）和抛物线的对称轴，则利用对称性得到C（2m-1，2m-1），于是可用m表示BC的长；
    （2）解方程-x2+2mx=0得A（2m，0），再利用两点间的距离公式得到PC2=5m2-10m+5，AC2=4m2-4m+2，PA2=5m2-4m+1，然后利用勾股定理得到5m2-10m+5+4m2-4m+2=5m2-4m+1，再解方程即可得到m的值；
    （3）①当m=$\frac{5}{4}$时，抛物线的解析式为y=-x2+$\frac{5}{2}$x，C点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P点坐标为（1，$\frac{5}{4}$），再利用待定系数法求出直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，则可得到F（$\frac{1}{2}$，1），然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点F是否在抛物线上；
    ②作CM⊥HG于M，利用等腰三角形的性质得GM=HM，易得直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$，直线AC的解析式为y=（-2m+1）x+4m2-2m，再分别求出F（3-2m，1），G（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，1），然后利用三角形面积公式得到（1-3+2m）•（m-1）=2（2m-1-1）•（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$-2m+1），整理得2m2-7m+5=0，于是解方程可得到m的值．

    解答 解：（1）当x=1时，y=-x2+2mx=2m-1，则B（1，2m-1），
    抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2m}{2×（-1）}$=m，
    ∴C（2m-1，2m-1），
    ∴BC=2m-1-1=2m-2；
    （2）当y=0时，-x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0），
    PC2=（2m-1-1）2+（2m-1-m）2=5m2-10m+5，AC2=（2m-1-2m）2+（2m-1）2=4m2-4m+2，PA2=（2m-1）2+m2=5m2-4m+1，
    当PC2+AC2=PA2，△PCA为直角三角形，PC⊥AC，
    即5m2-10m+5+4m2-4m+2=5m2-4m+1，
    整理得2m2-5m+3=0，解得m1=$\frac{3}{2}$，m2=1（舍去），
    即当m为$\frac{3}{2}$时，CA⊥CP；
    （3）①在．
    理由如下：
    当m=$\frac{5}{4}$时，抛物线的解析式为y=-x2+$\frac{5}{2}$x，C点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P点坐标为（1，$\frac{5}{4}$），
    设直线PC的解析式为y=kx+b，
    把C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），P（1，$\frac{5}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
    ∴直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
    当y=1时，$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=1，解得x=$\frac{1}{2}$，则F（$\frac{1}{2}$，1），
    而x=$\frac{1}{2}$时，y=-x2+$\frac{5}{2}$x=-$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$=1，
    ∴点F在抛物线上；
    ②作CM⊥HG于M，则GM=HM，
    P（1，m），C（2m-1，2m-1），A（2m，0），
    易得直线PC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$，直线AC的解析式为y=（-2m+1）x+4m2-2m，
    当y=1时，$\frac{1}{2}$x+m-$\frac{1}{2}$=1，解得x=3-2m，则F（3-2m，1），
    当y=1时，（-2m+1）x+4m2-2m=1，解得x=$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，则G（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$，1），
    ∵△PFE与△CHG的面积相等，
    ∴$\frac{1}{2}$•EF•PE=2•$\frac{1}{2}$•CM•GM，
    即（1-3+2m）•（m-1）=2（2m-1-1）•（$\frac{4{m}^{2}-2m-1}{2m-1}$-2m+1）
    整理得2m2-7m+5=0，解得m1=$\frac{5}{2}$，m2=1（舍去），
    即m的值为$\frac{5}{2}$．
    故答案为$\frac{5}{2}$．

    点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．

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    （1）请在公路上标注出服务区P的位置；（要求尺规作图，保留必要的作图痕迹，必要时可用黑色笔加重）
    （2）求出AP所在直线的解析式；
    （3）为方便两村村民到服务区，拟在两个村庄到服务区之间各修建一条道路，若每修建1千米道路需费用5万元，求出所需要的总费用．

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