Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．

（1）证明△OCN≌△OAM；

（2）若∠NOM=45°，MN=2，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）略（2）（0，）．

【解析】

试题分析：（1）由点M、N都在y=的图象上，即可得出S△ONC=S△OAM=|k|，再由正方形的性质可得出OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，结合三角形的面积公式即可得出CN=AM，进而即可证出△OCN≌△OAM（SAS）；

（2）将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及N、C、M′共线，通过角的计算即可得出∠M'ON=∠MON=45°，结合OM′=OM、ON=ON即可证出△M'ON≌△MON（SAS），由此即可得出M′N=MN=2，再由（1）△OCN≌△OAM即可得出CN=AM，通过边与边之间的关系即可得出BM=BN，利用勾股定理即可得出BM=BN=，设OC=a，则M′N=2CN=2（a﹣），由此即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出点C的坐标．

试题解析：（1）∵点M、N都在y=的图象上，

∴S△ONC=S△OAM=|k|．

∵四边形ABCO为正方形，

∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，

∴OCCN=OAAM．

∴CN=AM．

在△OCN和△OAM中，，

∴△OCN≌△OAM（SAS）．

（2）将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应A′，如图所示．

∵OA=OC，

∴OA′与OC重合，点A′与点C重合．

∵∠OCM′+∠OCN=180°，

∴N、C、M′共线．

∵∠COA=90°，∠NOM=45°，

∴∠CON+∠MOA=45°．

∵△OAM旋转得到△OCM′，

∴∠MOA=∠M′OC，

∴∠CON+∠COM'=45°，

∴∠M'ON=∠MON=45°．

在△M'ON与△MON中，，

∴△M'ON≌△MON（SAS），

∴MN=M'N=2．

∵△OCN≌△OAM，

∴CN=AM．

又∵BC=BA，

∴BN=BM．

又∠B=90°，

∴BN2+BM2=MN2，

∴BN=BM=．

设OC=a，则CN=AM=a﹣．

∵△OAM旋转得到△OCM′，

∴AM=CM'=a﹣，

∴M'N=2，

又∵M'N=2，

∴2（）=2，

解得：，

∴C（0，）．