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精英家教网如图,点P是⊙O的直径BA延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,CD⊥AB,垂足为D,连接AC、BC、OC,那么下列结论中:①PC2=PA•PB;②PC•OC=OP•CD;③OA2=OD•OP;④OA(CP-CD)=AP•CD,正确的结论有(  )个.
A、1B、2C、3D、4
分析:①证明△PBC∽△PCA,即可得到结论,这实际上是圆的切割线定理,正确;
②根据切线的性质定理,得OC⊥PC,再根据直角三角形的面积公式即可证明结论,正确;
③根据直角三角形的射影定理,得OC2=OD•OP,再根据OA=OC,即可证明结论,正确;
④根据△APC的面积分.
解答:解:①∵PC与⊙O相切于点C,∴∠PCB=∠A,∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA,
∴PC2=PA•PB

②∵OC⊥PC,
∴PC•OC=OP•CD

③∵CD⊥AB,OC⊥PC,
∴OC2=OD•OP,
∵OA=OC
∴OA2=OD•OP

④∵
1
2
AP•CD=
1
2
•OC•CP+
1
2
OA•CD,OA=OC
∴OA(CP-CD)=AP•CD
所以正确的有①,②,③,④,共4个.
故选D.
点评:综合运用切割线定理、射影定理、不同的角度表示同一个三角形的面积.
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