【题目】在平面直角坐标系中点、分别是轴、轴上的点且点的坐标是,.点在线段上,是靠近点的三等分点.点是轴上的点,当是等腰三角形时,点的坐标是__________.
【答案】(0,)或(0,-)或(0,-)或(0,-2)
【解析】
根据条件可得AC=2,过点C作CD⊥OA,由勾股定理得到OC=,再分以下三种情况求解:①当OP=OC时,可直接得出点P的坐标为(0,)或(0,-);②当PO=PC时,点P在OC的垂直平分线PE上,先求出直线OC的解析式,从而可求出直线PE的解析式,最后可求得P(0,-);③当CO=CP时,根据OP=2|yC|=2×1=2,求得P(0,-2).
解:∵点B坐标是(0,-3),∠OAB=30°,
∴AB=2×3=6,AO=3,
∵点C在线段AB上,是靠近点A的三等分点,
∴AC=2,
过点C作CD⊥OA于D,
∴CD=AC=1,
∴AD=CD=,
∴OD=OA-AD=3-=2,
∴OC=.
∵△OCP为等腰三角形,分以下三种情况:
①当OP=OC=时,点P的坐标为(0,)或(0,-);
②当PO=PC时,点P在OC的垂直平分线PE上,其中E为OC的中点,
∴点E的坐标为(,-),
设直线OC的解析式为y=k1x,将点C(2,-1)代入得k1=-,
则可设直线PE的解析式为y=k2x+b,则k1·k2=-1,∴k2=2,
∴将点E(,-)代入y=2x+b,得b=-,
∴P(0,),
③当CO=CP时,OP=2|yC|=2×1=2,
∴P(0,-2),
综上所述,当△OCP为等腰三角形时,点P的坐标为(0,)或(0,-)或(0,-)或(0,-2),
故答案为:(0,)或(0,-)或(0,-)或(0,-2).
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【题目】已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,点B的坐标为(6,8),动点D、E分别从点B、A同时出发,沿射线BA运动,点D、E的运动速度均为每秒2个单位,设D、E的运动时间为t秒.连接OD、CE交于点F.
(1)如图1,求点F的纵坐标;
(2)若点G为OA的中点,在点D、E运动过程中,设△GEF的面积为y,求y与t的关系式;
(3)在(2)的条件下,连接BG,线段BG、OD交于点K,若,坐标平面内是否存在点M,使以D、E、K、M为顶点的四边形为平行四边形,如果存在,请求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,直线AB交x轴于点A(,0),交y轴于点B(0,),且.b满足
(1)求证:OA=OB;
(2)如图1,若C的坐标为(-1,0),且AH⊥BC于点H,AH交OB于点P,试求点P的坐标;
(3)如图2,连接OH,求证:∠OHP=45°.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,与x轴交于点C,则此一次函数的解析式为__________,△AOC的面积为_________.
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【题目】(1)如图①所示,将绕顶点按逆时针方向旋转角,得到,,分别与、交于点、,与相交于点.求证:;
(2)如图②所示,和是全等的等腰直角三角形,,与、分别交于点、,请说明,,之间的数量关系.
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【题目】“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?
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【题目】某市推出电脑上网包月制,每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示,其中BA是线段,且BA∥x轴,AC是射线.
(1)当x≥30,求y与x之间的函数关系式;
(2)若小李4月份上网20小时,他应付多少元的上网费用?
(3)若小李5月份上网费用为75元,则他在该月份的上网时间是多少?
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【题目】(本题满分8分)
如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.
(1)求证:AB=DC;
(2)试判断△OEF的形状,并说明理由.
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