Question

2．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D两点，点B的横坐标为1，OC=OD，点P
在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△APB的面积．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥OD，根据反比例函数求得点B的坐标，再根据△BDE∽△CDO求得点C、D的坐标，最后利用C、D两点的坐标求得一次函数解析式；
（2）过点P作y轴的平行线，将△ABP分割成两部分，根据解方程组求得交点A的坐标，再结合一次函数求得PF的长，最后计算△APB的面积．

解答 解：（1）过点B作BE⊥OD，垂足为E，则
由BE∥CO，可得△BDE∽△CDO
∵OC=OD
∴BE=DE
又∵点B的横坐标为1，且B在反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图象上
∴B（1，-4），即BE=1，OE=4
∴OD=4-1=3=OC，
即C（-3，0），D（0，-3）
将C、D的坐标代入一次函数y=kx+b（k≠0），可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为y=-x-3

（2）过点P作y轴的平行线，交直线AB于点F，则S_△APB=S_△APF+S_△PFB
∵点P在反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图象上，且到x轴、y轴距离相等
∴P（-2，2）
在y=-x-3中，当x=-2时，y=-1，即F（-2，-1）
∴PF=2-（-1）=3
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$
∴A（-4，1）
∴△APF中PF边上的高为2，△BPF中PF边上的高为3
∴S_△APB=S_△APF+S_△PFB=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×3=3+4.5=7.5

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握根据待定系数法求一次函数解析式的方法以及相似三角形的运用．解答此类试题时注意：①求一次函数解析式时需要知道图象上两个点的坐标；②当三角形的边与坐标系不平行或不垂直时，可以运用割补法求三角形的面积．