Question

如图Rt△ABC中有两种作内接正方形的方法．图（1）作的内接正方形面积为441，（2）中作的内接正方形的面积为440，则AC+BC的值为（　　）

• A、456
• B、458
• C、460
• D、462

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：设BC=a，AC=b，AB=c，先由正方形的性质，可得：EF∥BC，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得21（a+b）=ab，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，用含a、b、c的代数式分别表示图（1）与图（2）中各个三角形的面积，根据△ABC的面积不变，列出方程，结合勾股定理，即可求得AC+BC的值．

解答：解：如图，设BC=a，AC=b，AB=c．
在图（1）中，∵四边形EFCD是正方形，
∴EF∥BC，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴EF：BC=AF：AC，21：a=（b-21）：b，
∴a+b=

1

21

ab．①
∵S_△AEF：S_△ABC=（EF：BC）²，即S_△AEF：

1

2

ab=441：a²，
∴S_△AEF=

441b

2a

，
同理，S_△BDE=

441a

2b

．
在图（2）中，∵四边形MNPQ是正方形，
∴MQ∥AB，
∴RT△QCM∽Rt△ACB，
∴S_△QCM：S_△ACB=（QM：AB）²，即S_△QCM：

1

2

ab=440：c²，
∴S_△QCM=

220ab

c2

，
同理，易求S_△APQ=

440b

2a

，S_△BMN=

440a

2b

，
∵S_△AEF+S_△BDE+S_{正方形CDEF}=S_△APQ+S_△CMQ+S_△BMN+S_{正方形MNPQ}=S_△ABC，
∴

441b

2a

+

441a

2b

+441=

440b

2a

+

220ab

c2

+

440a

2b

+440，
∴

b

2a

+

a

2b

+1=

220ab

c2

，
∴（a+b）²=

440a2b2

c2

，
将①代入上式，整理得c²=440×441．
∵（a+b）²=a²+b²+2ab=440×441+42（a+b），
∴（a+b）²-42（a+b）-440×441=0，
解得：a+b=462（另一个解-420舍去），
∴AC+BC=462．
故选D．

点评：此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意合理应用数形结合与方程思想．