在平面直角坐标系xOy中.已知 A.AC⊥AB于点A.AC=2.BD⊥AB于点B.BD=6.以AB为直径的半圆O上有一动点P.连接PD.PC.我们把由五条线段AB.BD.DP.PC.CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形.如图1所示.(1)如图2.当P运动到半圆O与y轴的交点位置时.求点P的关联图形的面积.(2)如图3.连接CD.OC.OD,判断△OCD的形状.并加� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.
（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.

（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，

试题分析：（1）当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，点P的关联图形是正方形AOPC+梯形OPDB，据此求解.
（2）证明OC⊥CD，作出判断.
（3）连接CD，因为梯形ACDB的面积为定值，故要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，则连接OC交半圆O于点P，应用三角形三边关系可证明点P为所确定的点的位置，从而由点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积求得点P的关联图形的最大面积.
试题解析：（1）∵A(-2，0)，∴OA="2,"
∵P是半圆O上的动点，P在y轴上，
∴OP="2," ∠AOP=90°.
∵AC=2，∴四边形AOPC是正方形．∴正方形的面积是4.
又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=

,
∴点P的关联图形的面积是12.
（2）判断△OCD是直角三角形，证明如下：
如图，延长CP交BD于点F.则四边形ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，四边形AOPC是正方形，
∴∠OCP=45°.
∴∠OCD=90°．∴OC⊥CD.
∴△OCD是直角三角形.

（3）连接OC交半圆O于点P，则点P为所确定的点的位置，理由如下：
如图，连接CD，梯形ACDB的面积=

为定值，
要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，
∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小.
连接OC，设交半圆O于点P，
∵AC⊥OA，AC="OA," ∴∠AOC=45°.
过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF="DF=4," ∠DCF=45°．∴OC⊥CD,OC=2

.
∴PC在半圆外.
设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，
则P′H+P′O>OH>OC.
∵OC="PC+OP," ∴P′H> PC,.
∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大.
∵CD=4

,CP=2

-2, ∴△PCD的面积=

.
又∵梯形ACDB的面积=

，
∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=

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