Question

【题目】如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0）．与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△AOB沿x轴向右平移m个长度单位（0＜m＜3）后得到另一个△FPE，点A、O、B的像分别为点F、P、E．

①如图①，当点E在直线AC上时，求m的值．

②设所得的三角形△FPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于m的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①m＝；②当0＜m≤时，S＝﹣m2+3m；当＜m＜3时，S＝m2﹣3m+．

【解析】

（1）根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）把点E的坐标代入直线AC的解析式来解答；

（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=-x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=-x+3+m．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．

（1）由题意可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），则，解得．

故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）由题意知，E（m，3）．

由（1）得：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故C（1，4）．

设直线AC的解析式为y＝kx+t（k≠0）．

把A（3，0），C（1，4）代入，得．

解得．

故直线AC的解析式为：y＝﹣2x+6．

把E（m，3）代入知，﹣2m+6＝3

解得m＝；

（3）平移后的三角形记为△PEF．

设直线AB的解析式为y＝k′x+d，则，

解得．

则直线AB的解析式为y＝﹣x+3．

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，

易得直线EF的解析式为y＝﹣x+3+m．

由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．

连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．

在△AOB沿x轴向右平移的过程中．

①当0＜m≤时，如图1所示．

设PE交AB于K，EF交AC于M．

则BE＝EK＝m，PK＝PA＝3﹣m，

联立，解得，

即点M（3﹣m，2m）．

故S＝S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

＝PE2﹣PK2﹣Fh

＝﹣（3﹣m）2﹣m2m

＝﹣m2+3m．

②当＜m＜3时，如图2所示．

设PE交AB于K，交AC于H．

因为BE＝m，所以PK＝PA＝3﹣m，

又因为直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，

所以当x＝m时，得y＝6﹣2m，

所以点H（m，6﹣2m）．

故S＝S△PAH﹣S△PAK

＝PAPH﹣PA2

＝﹣（3﹣m）（6﹣2m）﹣（3﹣m）2

＝m2﹣3m+．

综上所述，当0＜m≤时，S＝﹣m2+3m；当＜m＜3时，S＝m2﹣3m+．