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射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,
3
cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),求t值(单位:秒).
考点:切线的性质
专题:分类讨论
分析:先判断△BNM为等边三角形,再分类讨论:当⊙P与AB相切D点时,如图1,连结PD,根据切线的性质得PD⊥AB,PD=
3
,在Rt△PDM中计算出DM=
3
3
PD=1,则PM=2,则QP=4-2=2,易得t=2(秒);作AE⊥MN于E,CF⊥MN于F,如图2,在Rt△AEM中计算出EM=1,AE=
3
EM=
3
,同理可得CF=
3
,则当⊙P与AC相切时,点P在线段EF上,由于QE=3,QF=OE+EF=7,所以3≤t≤7;当⊙P与BC相切D点时,如图3,与第一种情况一样可得PN=2,则QP=QM+MN+PN=8,于是得到此时t=8(秒).
解答:解:∵△ABC为等边三角形,MN∥AC,
∴△BNM为等边三角形,
当⊙P与AB相切D点时,如图1,
连结PD,则PD⊥AB,PD=
3

在Rt△PDM中,∵∠PMD=60°,
∴DM=
3
3
PD=1,
∴PM=2,
∴QP=4-2=2,
∴t=2(秒);
作AE⊥MN于E,CF⊥MN于F,如图2,
在Rt△AEM中,∵∠EMD=60°,AM=2cm,
∴EM=1,AE=
3
EM=
3

同理可得CF=
3

∴当⊙P与AC相切时,点P在线段EF上,
∵QE=4-1=3,QF=OE+EF=3+4=7,
3≤t≤7;
当⊙P与BC相切D点时,如图3,
连结PD,则PD⊥AB,PD=
3

在Rt△PDN中,∵∠PND=60°,
∴DN=
3
3
PD=1,
∴PN=2,
∴QP=QM+MN+PN=4+2+2=8,
∴t=8(秒)
综上所述,t的值为2或3≤t≤7或8.
点评:本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了等边三角形的性质的性质.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,AB为⊙O的直径,C为AE的中点,连结AE交BC于F点.
(1)求证:AC2=CF•CB;
(2)延长AE至D点,若FD=FB=4,CF=2,试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

阅读材料,解答问题:
如图,在锐角三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,△ABC的三个顶点都在⊙O上,且⊙O的半径为R,求证:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
2R.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(1)计算:x2y-3(x-1y)3
(2)计算:
-x
x-2
-
2x-2
2-x

(3)解方程:
2
x-1
-
3
x+1
=
x+3
x2-1

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,角平分线BE、AD相交于I,连结CI并延长交AB于点F,则下列结论中错误的是(  )
A、点I在∠ABC的平分线上
B、点F在∠AIB的平分线上
C、∠ACI=45°
D、∠CAD+∠ABE+∠BCF=90°

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,△ABC是等腰直角三角形,在BC的延长线上取一点D,连接AD,以AD为腰作等腰直角△DAE,若BC=3,CD=1,求AD的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

下列计算中,正确的是(  )
A、-0.12=0.2
B、-|-2|2=4
C、(-3)3=-6
D、-(-1)2n+1=1(n表示自然数)

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如图,以Rt△ABC的三边分别向外作三个正方形ACDE、BCNM、ABGH,其面积分别为S1,S2,S3,设Rt△ABC的两条直角边长为a,b,斜边长为c,请证明:S3=S1+S2

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,根据下列语句画图:
(1)过点P画射线AB的垂线,Q为垂足;
(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;
(3)过点P画线段AM的垂线,交线段AM延长线于Q点.

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