Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；

（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（，）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣，）．

【解析】

（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得a，b的值，从而得到问题的答案；

（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+ 求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），

然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN＝2NF列方程求解即可；

（3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），

∴将点A和点B的坐标代入得： ，解得a＝﹣1，b＝1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．

（2）直线y＝mx+交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝，

∴直线AQ的解析式为y＝x+．

设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），

∴PN＝﹣n2+n+2﹣（n+）＝﹣n2+n+ ，NF＝n+．

∵PN＝2NF，即﹣n2+n+＝2×（n+），解得：n＝﹣1或．

当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．

∴点P的坐标为（，）．

（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，

∴M（，）．

如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（，）．

根据题意得： ，解得 ．

∴直线AM的函数解析式为y＝x+．

∵D为AC的中点，

∴D（﹣，1）．

设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，

∴AC的解析式为y＝2x+2．

设直线DE的解析式为y＝﹣x+c，将点D的坐标代入得： +c＝1，解得c＝，

∴直线DE的解析式为y＝﹣x+．

将y＝﹣x+ 与y＝x+联立，解得：x＝﹣ ，y＝ ．

∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣，）．