Question

（2009•邯郸二模）如图，矩形EFGH的边EF=6cm，EH=3cm，在平行四边形ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=

3

5

，点EFBC在同一直线上，且FB=1cm，矩形从F点开始以1cm/s的速度沿直线FC向右移动，当D点落在边CF所在直线上即停止．
（1）在矩形运动过程中，何时矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点？
（2）在矩形运动过程中，当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，求出重叠面积S（cm²）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出时间t的范围．是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S=16.5cm²？若存在，求出时间t，若不存在，说明理由．（3）若矩形运动的同时，点Q从点C出发沿C-D-A-B的路线，以0.5cm/s的速度运动，矩形停止时点Q也即停止运动，则点Q在进行一边上运动的时间为多少s？

Answer 1

分析：（1）何时矩形的一边恰好通过?ABCD的边AB或CD的中点，题目本身就不明确，到底是GF还是HE，经过了AB的中点还是CD的中点，所以必须分情况讨论，即①当GF边通过AB边的中点②当EH边通过AB边的中点③当GF边通过CD边的中点
（2）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形，则BE、AH都可用含有t的式子表示出来．在矩形EFGH中易证△AHP∽△BEP根据对应线段成比例，可求出EP的长，因此面积可表示出来．
（3）点Q在矩形一边上运动的时间为多少s，这里的“一边”是哪一边，必须分情况进行解释，所以也有三种情况．

解答：解：（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3，
①当GF边通过AB边的中点N时，
有BF=

1

2

BM=2，
∴t₁=3（s）．
②当EH边通过AB边的中点N时，
有BE=

1

2

BM=2，
∴BF=2+6=8，
∴t₂=8+1=9（s）．
③当GF边通过CD边的中点K时，
有CF=2，
∴t₃=1+10+2=13（s），
综上，当t等于3s或9s或13s时，矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点．


（2）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形，
则BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t，
在矩形EFGH中，有AH∥BF，
∴△AHP∽△BEP，
∴

BE

HA

=

PE

PH

，
∴

11-t

t-7

=

EP

3-EP

，
∴EP=

3(11-t)

4

，
∴S=18-

1

2

(11-t)×

3(11-t)

4

，
=-

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜11），
由对称性知当11＜t＜15时重叠部分仍为五边形，
综上S与t的函数关系式为：S=-

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜15且t≠11），
把s=16.5代入得：16.5=-

3

8

（t-11）²+18，
∴t₁=9，t₂=13，
即当t等于9s或13s时重叠部分的面积为16.5cm²．

（3）点Q从点C运动到点D所需的时间为：
5÷（

1

2

）=10（s），
此时，DG=1+14-10=5，
点Q从D点运动开始到与矩形相遇所需的时间为：

5

1+ 1 2

=

10

3

，
∴矩形从与点Q相遇到运动到停止所需的时间为：5-

10

3

=

5

3

，
从相遇到停止点Q运动的路程为：

1

2

×

5

3

=

5

6

，

5

6

+

5

3

=

5

2

＜6，
即点Q从相遇到停止一直在矩形的边GH上运动，
∴点Q在矩形的一边上运动的时间为：

5

3

s．

点评：此题主要考查了矩形的性质，此题在解答过程中，一定要注意分情况讨论，另外还考查了二次函数的一些基本应用，考查比较全面，难易程度适中．