Question

已知：P为⊙O外一点，PQ切⊙O于Q，PAB、PCD是⊙O的割线，且∠PAC=∠BAD．求证：PQ²-PA²=AC•AD．

Answer 1

分析：由切割线定理得PQ²=PA•PB，可将PQ²-PA²变形为PA•AB，根据圆内接四边形的性质得∠PCA=∠B，已知∠PAC=∠BAD，可证△PAC∽△DAB，得

PA

AD

=

AC

AB

，即PA•AB=AC•AD，证明结论．

解答：证明：如图，∵PQ为⊙O的切线，PAB为⊙O的割线，
由切割线定理，得PQ²=PA•PB，
∴PQ²-PA²=PA•PB-PA²=PA（PB-PA）=PA•AB，
由圆内接四边形的性质，得∠PCA=∠B，又∠PAC=∠BAD，
∴△PAC∽△DAB，
∴

PA

AD

=

AC

AB

，
即PA•AB=AC•AD，
∴PQ²-PA²=AC•AD．

点评：本题考查了切割线定理、圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质的运用．关键是根据题意，找到证题的突破口．