Question

13．如图，在菱形ABCD中，AC与BD于点O，AE⊥CD，且AE=OD，若AO+OD+AD=3+$\sqrt{3}$，则菱形ABCD的面积是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由在菱形ABCD中，AE⊥CD，且AE=OD，易证得Rt△AOD≌Rt△DEA（HL），继而证得△ACD是等边三角形，则可求得∠ADO的度数，即可求得AO，OD，AD的关系，又由AO+OD+AD=3+$\sqrt{3}$，求得OA与OD的长，继而求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AC⊥BD，
∵AE⊥CD，
∴∠DOA=∠AED=90°，
在Rt△AOD和Rt△DEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DO=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOD≌Rt△DEA（HL），
∴∠DAO=∠ADE，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ADC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∴∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°，
∴AD=2AO，OD=$\sqrt{3}$AO，
∵AO+OD+AD=3+$\sqrt{3}$，
∴AO+$\sqrt{3}$AO+2AO=3+$\sqrt{3}$，
∴AO=1，OD=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=2，BD=2OD=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积是：$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ACD是等边三角形是解此题的关键．