Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°，得到△FEC
（1）猜想AE与BF有何关系，说明理由．
（2）若△ABC的面积为3cm²，求四边形ABFE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？

Answer 1

分析 （1）由△ABC绕点C顺时针旋转180°可知：AC=CF，BC=CE，四边形ABFE为平行四边形，于是得到结论；
（2）由于AC是△ABE的BE边上中线，于是得到S_△ABE=2S_△ABC=6，同理S_△BEF=2S_△CEF=6，即可得到结论；
（3）要判断四边形ABFE为矩形，从对角线来看，要求AF=BE，又AF与BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC为等边三角形，∠ACB=60°．

解答 解：（1）AE∥BF，AE=BF．
理由是：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴△ABC≌△FEC，
∴AB=FE（全等三角形的对应边相等），
∠ABC=∠FEC（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥FE（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABFE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AE∥BF，AE=BF（平行四边形的对边平行且相等）；

（2）由（1）得四边形ABFE为平行四边形，
∴AC=CF，BC=CE，
∴根据等底同高得到S_△ABC=S_△ACE=S_△BCF=S_△CEF=3，
S_{四边形ABFE}=4S_△ABC=12cm²；

（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．
理由是：AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=60°，
∴∠ACE=120°．
又BC=CE，AC=CF，
∴∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠BAE=90°，同理可证其余三个角也为直角．
∴四边形ABFE为矩形．

点评 本题考查了平行四边形和矩形的判定方法，以及平行四边形和矩形的性质．旋转的性质--旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．