Question

已知△ABC的三边长都是整数，且△ABC外接圆的直径为6.25，那么△ABC三边的长是

 

．

Answer 1

分析：设△ABC三边长为a，b，c且a，b，c均为正整数．根据已知条件知三角形的三个边长均小于外接圆直径6.25．然后根据海伦--秦九韶公式

p(p-a)(p-b)(p-c)

=S=

1

2

absinC=

abc

4R

求得64（abc）²=625•（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b），最后由数的整除求得三角形的三个边长．

解答：解：设△ABC三边长为a，b，c且a，b，c均为正整数，△ABC外接圆直径2R=6.25．
∵a，b，c≤2R，
∴a，b，c只能取1、2、3、4、5、6；
由

p(p-a)(p-b)(p-c)

=S=

1

2

absinC=

abc

4R

，得

1

24

•（a+b+c）（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）=(

abc

12.5

)2
∴64（abc）²=625•（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）
∴5⁴|（abc）²故a，b，c中至少有两个5；
不妨设a=b=5，则64C²=（10+c）•C•C•（10-c）?C=6，
∴△ABC三边长为5，5，6．
故答案为：5、5、6．

点评：本题主要考查了三角形的三边关系、正弦定理与余弦定理．解答此题时，综合运用了海伦--秦九韶公式与数的整除的知识点．