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13.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合),EP与BD相交于点O.
(1)当P点在BC边上运动时,求证:△BOP∽△DOE;
(2)设(1)中的相似比为k,若AD:BC=2:3.请探究:当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?
①当k=1时,是平行四边形;
②当k=2时,是直角梯形;
③当k=3时,是等腰梯形.

分析 (1)根据两角对应相等两三角形相似即可证明.
(2)①四边形ABPE是平行四边形,只要证明AE=BP即可.
②四边形ABPE是直角梯形,只要证明∠BPE=90°即可.
③四边形ABPE是等腰梯形,只要证明AB=PE即可.

解答 (1)证明:∵AE∥BC,
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠OFB,
∴△BOP∽△DOE.

(2)解:①如图1中,

∵AE=ED,k=1,
∴AE=ED=BP,
∵AE∥PB,
∴四边形ABPE是平行四边形.
故答案为平行四边形.

②如图2中,

∵AE=DE,k=2,
∴PB=2ED=2AE,
∵AD:BC=2:3,
∴PC=DE,∵DE∥PC,
∴四边形CDEP是平行四边形,∵∠C=90°,
∴四边形CEEP是矩形,
∴∠EPB=∠EPC=90°,∵AE∥PB,AE≠PB,
∴四边形ABPE是直角梯形.
故答案为直角梯形.

③如图③中,作BM⊥AD于M.

∵AE=DE,AD:BC=2:3,k=3,
∴PB=3DE,
∵BC=3DE,
∴点P与C重合,
∵∠M=∠BCD=∠BDM=90°,
∴四边形BCDM是矩形,
∴BM=DC,DM=BC,∵BC=3DE,AE=DE,
∴AM=DE,∵∠M=∠CDE=90°,
∴△ABM≌△ECD,
∴AB=EC,
∴四边形ABPE是等腰梯形.
故答案为等腰梯形.

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、直角梯形的判定.等腰梯形的判定等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

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