Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=3.5，AD=4，AF=2.8，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，易证得∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，又由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ADF∽△DEC；
（2）由△ADF∽△DEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得DE的长，由勾股定理即可求得AE的长，继而求得平行四边形ABCD的面积．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE=5，
在Rt△ADE中，AE==3，
∴平行四边形ABCD的面积为：BC×AE=4×3=12．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．