Question

已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4．
（1）在图中找出两对相似三角形，并选取一对加以说明；
（2）若AE=x，BD=y，试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（3）试说明：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（4）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上（不包括端点），且∠DCE=30°，请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时，直接写出线段AD、DE、EB的比是多少？

Answer 1

解：（1）△AEC∽△CED，△AEC∽△BCD．
∵∠ACD+∠DCE=∠ACD+45°，
∴∠ACE=∠BDC，
∴△AEC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠B=45°，∠AEC=∠DCB=45°+∠BCE，
∴△AEC∽△BCD，
∴BD•AE=AC²，
∴BD•AE=AC²=×AB²=8，
（2＜x＜4）．

（3）证明如下：将△ABC绕点C顺时针旋转90°，
设E点对应点为E′，连接E′D，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴旋转后B与A重合，
又∵∠DCE=45°，
∴∠E′CD′=45°，
又∵CE′=CE，CD为公共边，
∴△CE′D≌△CED，
∴DE′=DE，
又∵∠E′AC=45°，∠CAD=45°，
∴∠E′AD=90°，
∴线段DE、AD、EA总能构成一个直角三角形；

（4）AD：DE：EB=1：：1．
分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，可求得∠A、∠B的度数，利用两对对应角相等的三角形相似可得到两个三角形相似；
（2）利用两对对应角相等得到△AEC∽△BCD，利用相似的性质：对应边成比例，可得x、y的关系式；
（3）通过旋转、全等可得与三边等效的三边能形成以90°的角，从而得到答案；
（4）利用旋转及相似可得比例式，得到答案．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质；三角形相似的判定时要首先思考能否用两对对应角相等这一性质，然后再思考其它方法，注意旋转的应用．