精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

已知:如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB上(不包括端点),且∠DCE=45°,AB=4.
(1)在图中找出两对相似三角形,并选取一对加以说明;
(2)若AE=x,BD=y,试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围;
(3)试说明:线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形;
(4)已知:如图②,等边三角形ABC中,点D、E在边AB上(不包括端点),且∠DCE=30°,请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时,直接写出线段AD、DE、EB的比是多少?

解:(1)△AEC∽△CED,△AEC∽△BCD.
∵∠ACD+∠DCE=∠ACD+45°,
∴∠ACE=∠BDC,
∴△AEC∽△BCD;

(2)∵∠A=∠B=45°,∠AEC=∠DCB=45°+∠BCE,
∴△AEC∽△BCD,
∴BD•AE=AC2
∴BD•AE=AC2=×AB2=8,
(2<x<4).

(3)证明如下:将△ABC绕点C顺时针旋转90°,
设E点对应点为E′,连接E′D,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴旋转后B与A重合,
又∵∠DCE=45°,
∴∠E′CD′=45°,
又∵CE′=CE,CD为公共边,
∴△CE′D≌△CED,
∴DE′=DE,
又∵∠E′AC=45°,∠CAD=45°,
∴∠E′AD=90°,
∴线段DE、AD、EA总能构成一个直角三角形;

(4)AD:DE:EB=1::1.
分析:(1)由∠ACB=90°,AC=BC,可求得∠A、∠B的度数,利用两对对应角相等的三角形相似可得到两个三角形相似;
(2)利用两对对应角相等得到△AEC∽△BCD,利用相似的性质:对应边成比例,可得x、y的关系式;
(3)通过旋转、全等可得与三边等效的三边能形成以90°的角,从而得到答案;
(4)利用旋转及相似可得比例式,得到答案.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质;三角形相似的判定时要首先思考能否用两对对应角相等这一性质,然后再思考其它方法,注意旋转的应用.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

53、已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D、
(1)求证:BC=CD;
(2)求证:∠ADE=∠ABD.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,过点B作BD∥AC,且BD=2AC,连接AD.试判断△ABD的形状,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:如图,以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O,D是⊙O上的点,且有AC=CD.过点C作⊙O的切线,与BD的延长线交于点E,连接CD.
(1)试判断BE与CE是否互相垂直,请说明理由;
(2)若CD=2
5
,tan∠DCE=
1
2
,求⊙O的半径长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交边AB于点D,DE⊥BC垂足为E,AD=
12
BD.求证:BE=CE.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•渝北区一模)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=45°,D是BC上的点,BD=10.∠ADC=60°.求AC(
3
≈1.73,结果保留整数).

查看答案和解析>>

同步练习册答案