Question

12．如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF、PC、CF，求证：对于任意点P，PF与PM的差为常数．
（3）记（2）中的常数为a，若将“使△PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²，将点B的坐标代入求得a的值即可；
（2）设点P的坐标为[m，$\frac{1}{4}$（m-2）²]，则PM=$\frac{1}{4}$（m-2）²]，依据两点间的距离公式可求得PF=$\frac{1}{4}$（m-2）²+1，从而可求得PF-PM=1的值；
（3）先求得直线CF的解析式为y=-x+3，然后再求得CF的长，然后依据三角形的面积公式求得点P到CF的距离，过点C作CG⊥CF，取CG=$\sqrt{2}$．则点G的坐标为（-1，2）或（1，4），过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y=-x+b，将点G的坐标代入求得直线GH的解析式，将直线GH的解析式与抛物线的解析式，联立可得到点P的坐标，当PC+PF最小时，△PCF的周长最小，由PF-PM=1可得到PC+PF=PC+PM+1，故此当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小，然后可求得此时点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²．
将点B的坐标代入得：4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²，即y=$\frac{1}{4}$x²-x+1．
（2）设点P的坐标为[m，$\frac{1}{4}$（m-2）²]．
∴PM=$\frac{1}{4}$（m-2）²，M（m，0）．
依据两点间的距离公式可知PF=$\sqrt{（m-2）^{2}+[\frac{1}{4}（m-2）^{2}-1]^{2}}$
=$\sqrt{（m-2）^{2}+\frac{1}{16}（m-2）^{4}-\frac{1}{2}（m-2）^{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{1}{16}（m-2）^{2}+\frac{1}{2}（m-2）^{2}+1}$
=$\sqrt{[\frac{1}{4}（m-2）^{2}+1]^{2}}$
=$\frac{1}{4}$（m-2）²+1，
∴PF-PM=1．
∴对于任意点P，PF与PM的差为常数．
（3）设CF的解析式为y=kx+3，将点F的坐标代入得：2k+3=1，解得k=-1，
∴直线CF的解析式为y=-x+3．
由两点间的距离公式可知：CF=2$\sqrt{2}$．
∵a=1，
∴2a=2．
设△PCF中，边CF的上的高线长为x．则$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$x=2，解得x=$\sqrt{2}$．
过点C作CG⊥CF，取CG=$\sqrt{2}$．则点G的坐标为（-1，2）．

过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y=-x+b，将点G的坐标代入得：1+b=2，解得b=1，
∴直线GH的解析式为y=-x+1，
将y=-x+1与y=$\frac{1}{4}$（x-2）²，解得：x=0，
所以△PCF的一个巧点的坐标为（0，1）．
显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．
∵FC为定点，
∴CF的长度不变，
∴当PC+PF最小时，△PCF的周长最小．
∵PF-PM=1，
∴PC+PF=PC+PM+1，
∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．
∴此时P（0，1）．
综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、垂线段最短的性质，明确当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小是解题的关键．