Question

5．已知$\sqrt{x^2-3}$-$\sqrt{x^2-7}$=1，求：
（1）$\sqrt{x^2-3}$+$\sqrt{x^2-7}$的值；
（2）x的值．

Answer 1

分析 （1）将原式两边都乘以$\sqrt{x^2-3}$+$\sqrt{x^2-7}$，根据平方差公式可得；
（2）将原式及（1）中等式相加可得关于x的方程，两边平方后解一元二次方程可得x的值．

解答 解：（1）∵$\sqrt{x^2-3}$-$\sqrt{x^2-7}$=1，
∴（$\sqrt{x^2-3}$-$\sqrt{x^2-7}$）（$\sqrt{x^2-3}$+$\sqrt{x^2-7}$）=$\sqrt{x^2-3}$+$\sqrt{x^2-7}$，
即：$\sqrt{x^2-3}$+$\sqrt{x^2-7}$=x²-3-（x²-7）=x²-3-x²+7=4，
故$\sqrt{x^2-3}$+$\sqrt{x^2-7}$=4；

（2）∵$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}-3}-\sqrt{{x}^{2}-7}=1}&{①}\\{\sqrt{{x}^{2}-3}+\sqrt{{x}^{2}-7}=4}&{②}\end{array}\right.$，
∴①+②，得：2$\sqrt{{x}^{2}-3}$=5，即$\sqrt{{x}^{2}-3}$=$\frac{5}{2}$，
两边平方得：x²-3=$\frac{25}{4}$，即x²=$\frac{37}{4}$
解得：x=$\frac{\sqrt{37}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

点评 本题主要考查二次根式的化简求值及平方差公式的运用，将原式两边都乘以$\sqrt{x^2-3}$+$\sqrt{x^2-7}$利用平方差公式化简是解题的关键．