Question

我们知道，对于实系数方程ax²+bx+c=0（a≠0），若x₁、x₂是其两实数根，则有ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）=ax²-a（x₁+x₂）x+ax₁x₂，故有b=-a（x₁+x₂），c=ax₁x₂，即得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
根据上述内容，若实系数方程ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）的三个实数根分别是x₁、x₂、x₃，则x₁+x₂+x₃=

 

； x₁x₂x₃=

 

．

Answer 1

分析：根据题目信息，把方程改写成用x₁、x₂、x₃，表示的形式，然后再利用多项式的乘法展开，根据对应项系数相等列式即可求解．

解答：解：根据题意可得
ax³+bx²+cx+d
=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
=a（x²-xx₁-xx₂+x₁x₂）（x-x₃）
=a（x³-x²x₁-x²x₂+xx₁x₂-x²x₃+xx₁x₃+xx₂x₃-x₁x₂x₃）
=ax³-a（x₁+x₂+x₃）x²+a（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-ax₁x₂x₃，
∴b=-a（x₁+x₂+x₃），d=-ax₁x₂x₃，
即得x₁+x₂+x₃=-

b

a

，x₁x₂x₃=-

d

a

．
故答案为：-

b

a

，-

d

a

．

点评：本题考查了根与系数的推广，根据题目信息提供的解题思路，把方程写成用根的形式表示，再根据多项式的乘法整理成一般形式是解题的关键，难度中等．