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【题目】如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点BBFDE,垂足为FBF交边DC于点G

1)求证:DGBCDFBG

2)连接CF,求∠CFB的大小;

3)作点C关于直线DE的对称点H,连接CHFH.猜想线段DFBFCH之间的数量关系并加以证明.

【答案】1)见解析;(2)∠CFB45°;(3BFCH+DF,理由见解析.

【解析】

1)根据正方形的性质得到∠BCD=90°,证明∠BGC=DGF,得到△BGC∽△DGF,根据相似三角形的性质证明结论;
2)连接BD,证明△BGC∽△DGF,根据相似三角形的性质得到∠BDG=CFG,根据正方形的性质解答;
3)在线段FB上截取FM,使得FM=FD,连接DM,证明△BDM∽△CDF,得到BM=CF,根据等腰直角三角形的性质得到CH=CF,证明结论.

1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BCD90°

BFDE

∴∠DFG90°

∴∠BCD=∠DFG

∵∠BGC=∠DGF

∴△BGC∽△DGF

DGBCDFBG

2)解:如图1,连接BD

∵△BGC∽△DGF

∵∠BGD=∠CGF

∴△BGD∽△CGF

∴∠BDG=∠CFG

∵四边形ABCD是正方形,BD是对角线,

∴∠BDGADC45°

∴∠CFB45°

3)解:BFCH+DF

理由如下:如图2,在线段FB上截取FM,使得FMFD,连接DM

∵∠BFD90°

∴∠MDF=∠DMF45°DMDF

∵∠BDG45°

∴∠BDM=∠CDF

∵△BGD∽△CGF

∴∠GBD=∠DCF

∴△BDM∽△CDF

BMCF

∵∠CFB45°BFDE

C关于直线DE的对称点H

∴∠EFH=∠EFC45°

∴∠CFH90°

CFFH

CHCF

BMCH

BFBM+FMCH+DF

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