【题目】如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交边DC于点G.
(1)求证:DGBC=DFBG;
(2)连接CF,求∠CFB的大小;
(3)作点C关于直线DE的对称点H,连接CH,FH.猜想线段DF,BF,CH之间的数量关系并加以证明.
【答案】(1)见解析;(2)∠CFB=45°;(3)BF=CH+DF,理由见解析.
【解析】
(1)根据正方形的性质得到∠BCD=90°,证明∠BGC=∠DGF,得到△BGC∽△DGF,根据相似三角形的性质证明结论;
(2)连接BD,证明△BGC∽△DGF,根据相似三角形的性质得到∠BDG=∠CFG,根据正方形的性质解答;
(3)在线段FB上截取FM,使得FM=FD,连接DM,证明△BDM∽△CDF,得到BM=CF,根据等腰直角三角形的性质得到CH=CF,证明结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∵BF⊥DE,
∴∠DFG=90°,
∴∠BCD=∠DFG,
∵∠BGC=∠DGF,
∴△BGC∽△DGF,
∴,
∴DGBC=DFBG;
(2)解:如图1,连接BD,
∵△BGC∽△DGF,
∴,
∴,
∵∠BGD=∠CGF,
∴△BGD∽△CGF,
∴∠BDG=∠CFG,
∵四边形ABCD是正方形,BD是对角线,
∴∠BDG=∠ADC=45°,
∴∠CFB=45°;
(3)解:BF=CH+DF,
理由如下:如图2,在线段FB上截取FM,使得FM=FD,连接DM,
∵∠BFD=90°,
∴∠MDF=∠DMF=45°,DM=DF,
∵∠BDG=45°,
∴∠BDM=∠CDF,
∵△BGD∽△CGF,
∴∠GBD=∠DCF,
∴△BDM∽△CDF,
∴,
∴BM=CF,
∵∠CFB=45°,BF⊥DE,
点C关于直线DE的对称点H,
∴∠EFH=∠EFC=45°,
∴∠CFH=90°,
∵CF=FH,
∴CH=CF,
∴BM=CH,
∴BF=BM+FM=CH+DF.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,DE⊥AC,垂足为点 E.
(1)求证:DECD=ADCE;
(2)设F为DE的中点,连接AF、BE,求证:AFBC=ADBE.
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【题目】如图①,在矩形ABCD中,AB<AD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB-BC→CD向点D运动设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所小示,则AD的长为________.
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【题目】已知:抛物线y=(m-1)x2+mx+m2-4的图象经过原点,且开口向上.
(1)确定的值;
(2)求此抛物线的顶点坐标;
(3)画出抛物线的图象,结合图象回答:当取什么值时,随的增大而增大?
(4)结合图象直接回答:当取什么值时,?
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【题目】对于一个函数,如果它的自变量 x 与函数值 y 满足:当1≤x≤1 时,1≤y≤1,则称这个函数为“闭 函数”.例如:y=x,y=x 均是“闭函数”. 已知 y ax2 bx c(a0) 是“闭函数”,且抛物线经过点 A(1,1)和点 B(1,1),则 a 的取值范围是______________.
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【题目】某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争,印制了应知应会手册,该区教育局想了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度,抽取了部分教师进行了测试,并将测试成绩绘制成下面两幅统计图,请根据统计图中提供的信息,回答下面问题:
(1)计算样本中,成绩为98分的教师有 人,并补全两个统计图;
(2)样本中,测试成绩的众数是 ,中位数是 ;
(3)若该区共有教师6880名,根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识?
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【题目】某中学在全校学生中开展了“地球—我们的家园”为主题的环保征文比赛,评选出一、二、三等奖和优秀奖。根据奖项的情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求校获奖的总人数,并把条形统计图补充完整;
(2)求在扇形统计图中表示“二等奖” 的扇形的圆心角的度数;
(3)获得一等奖的4名学生中有3男1女,现打算从中随机选出2名学生参加颁奖活动,请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率﹒
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【题目】如图,已知等边△ABC的边长为8,以AB为直径的圆交BC于点F.以C为圆心,CF长为半径作图,D是⊙C上一动点,E为BD的中点,当AE最大时,BD的长为( )
A. B. C. D. 12
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【题目】智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后,就可以测量物高、宽度和面积等.如图,打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键,再对准头部按键,即可测量出人体的高度.其数学原理如图②所示,测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC.若手机显示AC=1m,AD=1.8m,∠CAD=60°,求此时CD的高.(结果保留根号)
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