Question

如图，点P在x轴上，且OP=

3

，∠AOP=30°，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON=

 

（如结果中有根号，请保留根号）．

Answer 1

分析：根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°与∠OPN=135°两种情况进行讨论，设出ON的长度是2x，然后表示出正方形的边长与OP的长度，再根据OP的长度列式求解．

解答：解：设ON=2x，
①如图1，当PN是正方形的边长时，

∵∠AOP=30°，
∴OP=2x•cos30°=2x×

3

2

=

3

x，
又∵OP=

3

，
∴x=1，
∴ON=2x=2；

②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°时

∵∠AOP=30°，
∴OM=2x•cos30°=2x×

3

2

=

3

x，
MP=MN=ON•sin30°=2x×

1

2

=x，
又∵OP=

3

，
∴

3

x+x=

3

，
解得x=

3- 3

2

，
∴ON=2x=3-

3

；

③如图3，PN是正方形的对角线，且∠OPN=135°时，

∵∠AOP=30°，
∴OM=2x•cos30°=2x×

3

2

=

3

x
MP=MN=ON•sin30°=2x×

1

2

=x，
又∵OP=

3

，
∴

3

x-x=

3

，
解得x=

3+ 3

2

，
∴ON=2x=3+

3

．
综上所述，ON的值为：2或3-

3

或3+

3

．
故答案为：2或3-

3

或3+

3

．

点评：本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，利用了正方形的性质，30°角的正弦与余弦，难度不是很大，但要注意分情况讨论，容易漏解而导致出错．