Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=150°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，若BM=3，求BC的长．

Answer 1

解：连接AM，过点A作AO⊥BC于点O．
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角），又∠BAC=150°，
∴∠B=∠C=15°
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM=3．（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
∴∠MAB=∠B=15°（等边对等角），
∴∠AMO=∠B+∠MAB=30°．
又∵AO⊥BC，
∴OA=AM=（直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边一半）
在Rt△AOM中，由勾股定理，得MO=．
∴BO=BM+MO=
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，而AO⊥BC，
∴BO=OC．（等腰三角形底边上的高、底边上的中线互相重合）
则BC=2BO=．
分析：连接AM，根据线段垂直平分线上的点到两短点的距离相等，可以得到AM=BM，由等腰三角形的∠A=150°，求出∠B=15°，所以∠AMC=30°，然后过A作AO⊥BC，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OM的长度，所以BO的长度也就可以求出，最后根据等腰三角形三线合一的性质，BC=2BO．
点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，作出辅助线是解题的关键．