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如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
（1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
（2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
（4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．

解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
过点A（3，0）、C（0，4），解得：
y= $\text{[math]}$ ，
N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
代入直线解析式得纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
所以P点坐标为：（ $\text{[math]}$ ）；

（2）AM边上的高为P点纵坐标，
所以有：h= $\text{[math]}$ ，
M点坐标为（x，0），
AM=3-x，
所以有：S= $\text{[math]}$ AM•h，
解得：S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得S的最大值为 $\text{[math]}$ ，

（3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，解得：
x= $\text{[math]}$ ，即P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
同理可得当 $\text{[math]}$ 时，
P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，2）；
故有P点坐标为：P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、P₂（ $\text{[math]}$ ，2）；

（4）△PMA能成为等腰三角形，
有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]²+ $\text{[math]}$ =（3-x）²，
解得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=- $\text{[math]}$ （舍去），
∴3-x= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，
∴P的坐标是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
②AP=PM时，[3-（3-x）]²+ $\text{[math]}$ =[（3-x）-x]²+ $\text{[math]}$ ，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴3-x=2， $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，
∴P的坐标是（2， $\text{[math]}$ ），
③MP=MA时，[（3-x）-x]²+ $\text{[math]}$ =（3-x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂= $\text{[math]}$ ，
∴3-x= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，
∴P的坐标是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
即P点的坐标分别为
P₁（2， $\text{[math]}$ ）、P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、P₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
P₁（2， $\text{[math]}$ ）、P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、P₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）先确定直线AB的解析式，以及N点的坐标后可以确定P点的横坐标，再把它代入直线方程解出P点坐标．
（2）由P点的纵坐标可以知道△MPA中边AM上的高，再求出AM的长，即可求得三角形面积．
（3）当△APM与△ACO相似时∠APM=90°， $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$ ，根据这个式子列出等量关系可以求得x的值．进而求得P点坐标．
（4）△PMA能成为等腰三角形时，有两边长相等，此时分三种情况①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根据勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
点评：本题属于综合题，主要考查了二次函数的性质和最值求法，同时还考查了三角形的相关知识．

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动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
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