Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为6，则△ABC的周长为（　　）

• A．12
• B．12+6

  3

• C．12十7

  3

• D．12+10

  3

Answer 1

分析：先确定P点的位置：过点M作AC的对称点M′，连接M′N交AC于点P，此时PM+PN的值最小．根据求出M′N的长，根据PM+PN=6，得出PM=PN=3，运用三角函数求出MN=3

3

，再根据三角形中位线的性质及直角三角形的性质分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．

解答：解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置．
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
∵PM′=PM，
∴PM=PN，
∴P在MN的垂直平分线上，
∵BM=BN，
∴B在MN的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴BP垂直平分MN，
∵MN∥AC，∴BP⊥AC，
又∵AB=AC，∴AP=PC．
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∵PM+PN=6，
∴PM=PN=3，MN=3

3

，
∴AC=6

3

，AB=BC=2PM=2PN=6，
∴△ABC的周长为：6+6+6

3

=12+6

3

．
故选B．

点评：本题考查等腰三角形、直角三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．利用“两点之间线段最短”正确确定P点的位置是解题的关键．