Question

6．如图，Rt△ABC内接于⊙O，D为BC中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于F，交过点C作⊙O的切线于点P．
（1）求证：PC=PF；
（2）若tanA=$\frac{4}{3}$，求$\frac{PD}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由已知条件得出AB为⊙O的直径，由OC=OB得出∠OBC=∠OCB，证出∠PCF=∠PFC，即可得出结论；
（2）作DG∥BC交PC于G，连接OD，证出GD是⊙O的切线，得出DG=CG=DF．由∠A=∠ACO=∠BCP=∠PGD，得出tan∠PGD=tanA，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
即∠OCB+∠PCF=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AB为⊙O的直径，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠PCF=∠BFE，
∵∠PFC=∠BFE，
∴∠PCF=∠PFC，
∴PC=PF；
（2）解：作DG∥BC交PC于G，连接OD，如图2所示：
则∠PGD=∠PCF，
∵D为$\widehat{BC}$的中点，
∴OD⊥BC，
∴DG⊥OD，
∴GD是⊙O的切线，
∴CG=DG，
∵PC=PF，
∴CG=DF，
∴CG=DG=DF，
∵∠ACB=∠OCP=90°，
∴∠ACO=∠PCF，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠ACO=∠BCP=∠PGD，
∴tan∠PGD=$\frac{PD}{DG}$=tan∠A=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{PD}{DF}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、三角函数、等腰三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆的有关定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．