Question

如图甲，已知在⊙O中，AB=4

3

，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；
（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请出这个圆锥的底面圆的半径；
（3）如图乙，若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”，其余条件不变，以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH，顶点G、H在⊙O的劣弧

BD

上，GH交OC于点E．试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明，由AC⊥BD，根据垂径定理可知：BF=FD，故只需证明OF=CF．在Rt△ABF中，已知∠A和AB，可将BF，AF的长求出；在Rt△BOF中，运用勾股定理可将半径OB及OF求出，根据CF=2OB-AF可将CF求出，根据OF=CF，BF=FD，BD⊥OC，可证四边形OBCD为菱形；
（2）已知扇形BOD的圆心角和半径，代入l_弧长=

nπR

180

进行求解，再根据底面周长：2πr=l_弧长，可求出圆锥底面的半径；
（3）作辅助线，连接OH，S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD-S_下矩形，S_扇形=

1

2

lR，S_△BOD=

1

2

OB²，代入数据可将扇形AOB和△BOD的面积求出，由M、N是△OBD的中位线，可知MN=

1

2

BD，在Rt△OEH中，根据勾股定理可求出OE，又OF=

2

2

OB，可得EF=OE-OF，故：S_下矩形=MN×EF，从而可将阴影部分的面积求出．

解答：解：（1）四边形OBCD是菱形．
如图丙，∵AC⊥BD，AC是直径，
∴AC垂直平分BD．
∴BF=FD，

BC

=

CD

．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．
∵BF=

1

2

AB=2

3

，
在Rt△ABF中，
AF=

AB2-BF2

=

(4 3 )2-(2 3 )2

=

36

=6．
在Rt△BOF中，
∴OB²=BF²+OF²．即(2

3

)2+(6-OB)2=OB2．
解得：OB=4．
∵OA=OB=4，
∴OF=AF-AO=6-4=2，
∵AC=2OA=8，
∴CF=AC-AF=8-6=2，
∴CF=OF，
∵BF=FD，AC⊥BD，
∴四边形OBCD是菱形；

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr．
∵扇形OBD的弧长=

120

180

π•4=

8

3

π，
∴2πr=

8

3

π，
解得：r=

4

3

；

（3）如图丁，连接OH．
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∵∠BOD=∠BOC=90°，OB=OD=4，
∴BD=

2

OB=4

2

，
∴OF=

1

2

BD=2

2

，
∵M、N是OB、OD的中点，
∴MN=

1

2

BD=

1

2

×4

2

=2

2

，
∵四边形MNGH是矩形，
∴MN=GH=2

2

，EH=EG=

1

2

MN=

2

，
在Rt△HOE中，OE²=OH²-HE²，即OE²=4²-（

2

）²，
解得：OE=

14

，
∴EF=OE-OF=

14

-2

2

，
∵扇形OBD的面积=

1

2

lR=

1

2

×

8

3

π×4=

16

3

π，
∴图中阴影部分的面积=

16

3

π-

1

2

×4×4-（

14

-2

2

）×2

2

=

16

3

π-8-4

7

+8
=

16

3

π-4

7

．

点评：本题综合考查菱形的判定定理，垂径定理的应用，弧长的计算，扇形面积的求法等知识点，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．