Question

17．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、CD上，∠EBF=45°
（1）试探索线段AE、CF、EF之间的关系，并说明理由；
（2）若E、F两点分别在AD和DC的延长线上，则（1）中结论是否保持不变？如果不变，请说明理由，如果变化，则请写出线段AE、C F、EF之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长EA至H，使AH=CF，连接BH，△BCF和△ABH，△FBE≌△HBE，根据全等三角形的性质得出EF=AE+CF即可得出答案，
（2）在AD上截取AH=CF，连接BH，证△BCF和△ABH，△FBE≌△HBE，根据全等三角形的性质得出EF=AE-CF即可得出答案．

解答 解：（1）EF=AE+CF；
证明：如图1，延长EA至H，使AH=CF，连接BH，
∵在正方形ABCD中，
∴∠BCF=∠BAH，BC=AB，
在△BCF和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠BCF=∠BAH}\\{CF=HA}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△BAH（SAS），
∴∠ABH=∠CBF，BF=BH，
∴∠FBH=90°，
∴∠EBF=∠EBH=45°，
在△FBE和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BH}\\{∠FBE=∠EBH}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△FBE≌△HBE（SAS），
∴EF=HE=AE+HA，
∴EF=AE+CF；

（2）变化，EF=AE-CF，
理由：如图1，在AD上截取AH=CF，连接BH，
∵在正方形ABCD中，
∴∠BCF=∠BAH，BC=AB，
在△BCF和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠BCF=∠BAH}\\{CF=HA}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△BAH（SAS），
∴∠ABH=∠CBF，BF=BH，
∴∠FBH=90°，
∴∠EBF=∠EBH=45°，
在△FBE和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BH}\\{∠FBE=∠EBH}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△FBE≌△HBE（SAS），
∴EF=HE=AE-HA，
∴EF=AE-CF．

点评 题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定的综合应用，作出辅助线延长EB至H，使BH=DF，利用全等三角形性质与判定求出是解题关键．