Question

【题目】三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°．如何证明这个定理呢？

我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．

（定理证明）

已知：△ABC（如图①）．

求证：∠A+∠B+∠C=180°．

（定理推论）如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD= ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（初步运用）如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．

（1）若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB= ；

（2）若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB= ．

（拓展延伸）如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．

（1）若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= ；

（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为 ；

（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN．

Answer 1

【答案】[定理证明]证明见解析；[定理推论] ∠A+∠ABC； [初步运用]（1）70°；（2）260°；[拓展延伸]（1）230°；（2）（2）∠P=∠A+100°.（3）证明见解析.

【解析】

[定理证明]

过点A作直线MN∥BC，根据平行线的性质和平角的定义可得结论；

[定理推论]

根据三角形的内角和定理和平角的定义可得结论；

[初步运用]

（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和列式可得结论；

（2）根据三角形的内角和得：∠ABC+∠ACB=100°，由两个平角的和可得结论；

[拓展延伸]

（1）连接AP，根据三角形内角和定理的推论可得等式，将两个等式相加可得结论；

（2）如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，综合可得结论；

（3）如图⑥，作辅助线，构建三角形PQC，根据（1）的结论得：∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，和角平分线的定义，证明∠MBP=∠PQC，可得结论．

[定理证明]

证明：过点A作直线MN∥BC，如图所示，

∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，

∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°；

[定理推论]

∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠ACD=∠A+∠ABC，

故答案为：∠A+∠ABC；

[初步运用]

（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，

∴∠ACB=∠DBC-∠A=150°-80°=70°，

故答案为：70°；

（2）∵∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=100°，

∴∠DBC+∠ECB=360°-100°=260°，

故答案为：260°；

[拓展延伸]

（1）如图④，连接AP，

∵∠DBP=∠BAP+∠APB，∠ECP=∠CAP+∠APC，

∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC=∠BAC+∠BPC，

∵∠BAC=80°，∠P=150°，

∴∠DBP+∠ECP=∠BAC+∠BPC=80°+130°=230°，

故答案为：230°；

（2）∠P=∠A+100°.

理由是：如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，

由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，

2∠A+2∠O=∠A+∠P，

∵∠O=50°，

∴∠P=∠A+100°，

故答案为：∠P=∠A+100°；

（3）证明：延长BP交CN于点Q，

∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，

∴∠DBP=2∠MBP，∠ECP=2∠NCP，

∵∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，

∠A=∠BPC，

∴2∠MBP+2∠NCP=∠A+∠BPC=2∠BPC，

∴∠BPC=∠MBP+∠NCP，

∵∠BPC=∠PQC+∠NCP，

∴∠MBP=∠PQC，

∴BM∥CN.