Question

如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为

3

．

Answer 1

分析：根据3n+1是一个完全平方数，设3n+1=m²，移项，因式分解，得出m+1，m-1中必有一个是3的倍数，设其中一个为3a，用含a的代数式表示n，再把n+1用含a的代数式表示，变形成几个完全平方数的和即可．

解答：解：设3n+1=m²，则3n=m²-1=（m+1）（m-1），
故m+1，m-1中必有一个是3的倍数，
不妨设m-1=3a，
则3n=m²-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，
即n=a（3a+2），
则n+1=a（3a+2）+1=3a²+2a+1=a²+a²+（a+1）²，
故其最小值为3．
故答案为：3．

点评：本题考查了完全平方数．关键是运用字母代替数，将所求式子变形，得出几个完全平方数的和，求出k的最小值．