Question

14．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CAB=30°，点D在AB上由点B开始向点A运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质得到∠ECA=∠DCA，根据直角三角形两锐角互余得到∠CDF=∠F，得到CD=CF，证明结论；
（2）连接OC，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明∠ECO=90°，根据切线的判定定理证明即可．

解答 （1）证明：∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠ECA=∠DCA，
又∵DF⊥DE，
∴∠CDF=90°-∠CDE=90°-∠E=∠F，
∴CD=CF，
∴CE=CF；
（2）证明：连接OC，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠CBA=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=∠DCB=30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CD=CE，
∴∠ECA=∠DCA=60°，
∴∠ECO=∠ECA+∠OCA=60°+30°=90°，
∴EF为⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定、轴对称的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理是解题的关键．