Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG＝AB＝5，根据三角函数的定义得到CH＝BC＝CD＝5，推出点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE＝k，AE＝2k，得到BE＝2，根据勾股定理得到BH＝＝5，求得EH＝BH﹣BE＝3，于是得到结论．

解：设AB的中点为G，

连接EG，延长BE交CD于H，

∵AE⊥BE，

∴∠AEB＝90°，

∴EG＝AB＝5，

∵在正方形ABCD中，∠C＝∠ABC＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBH＝90°，

∴∠CBH＝∠BAE，

∴cot∠BAE＝cot∠CBH＝＝2，

∴CH＝BC＝CD＝5，

∴点H是以CD为直径的圆的圆心，

设BE＝k，AE＝2k，

∴AB＝k＝10，

∴k＝2，

∴BE＝2，

∵∠C＝90°，BC＝10，CH＝5，

∴BH＝ ＝5，

∴EH＝BH﹣BE＝3 ，

∵r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，

∴r的取值范围为，

故答案为：．