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直线y=-
3
3
x+
3
与两坐标轴交于A、B两点,以点M(1,0)为圆心,MA为半径作⊙M交坐标轴于C、D两点.作直线BE∥x轴交⊙M于E,过点B作直线PQ使∠EPM=∠MPB=60°,连接PE、PM.请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系,并证明你的结论.
考点:圆的综合题,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值
专题:探究型
分析:延长PB至F,使得PF=PM,连接MF、MB、ME.只需证到BF=PE,只需证到△MBF≌△MEP,只需证到△PFM和△EMB都是等边三角形即可.
解答:解:PB+PE=PM.
理由如下:
延长PB至F,使得PF=PM,连接MF、MB、ME,如图.
∵∠1=60°,PF=PM,
∴△PFM是等边三角形,
∴MF=PM,∠PMF=60°,
∴∠3+∠5=60°.
由直线AB的解析式y=-
3
3
x+
3
可得:A(3,0),B(0,
3
),
在Rt△AOB中,
∵OB=
3
,OA=3,
∴tan∠BAO=
3
3

∴∠BAO=30°.
∵BE∥x轴,
∴∠8=∠BAO=30°,
∴∠7=2∠8=60°.
∵MB=ME,
∴△MBE是等边三角形,∠5+∠4=60°.
∵∠3+∠5=60°,∴∠3=∠4.
在△MBF和△MEP中,
MF=MP
∠3=∠4
MB=ME

∴△MBF≌△MEP(SAS).
∴BF=PE.
∴PM=PF=PB+BF=PB+PE,
即PB+PE=PM.
点评:本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、平行线的性质等知识,有一定的难度,而用截长补短法构造全等三角形是解决本题的关键,截长补短法是证明一条线段等于两条线段的和(或差)常用的证明方法,应掌握它.
练习册系列答案
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将两块全等的直角三角形如图1摆放,其中∠DCE=∠ACB=90°,∠D=∠A.

(1)求证:AB⊥DE;
(2)将图中的△DCE绕点C顺时针旋转45°得到图2,AB、CD交于点N,DE、BC交于M,求证:CM=CN.

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2
的整数部分为a,
5
的小数部分为b,求a2b的值.

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设a=m+1,b=m+2,c=m+3,求代数式a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2的值.

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如图,已知线段AB=12cm,点C为AB上的一个动点,点D、E分别是AC和BC的中点.
(1)若点C恰好是AB中点,则DE=
 
cm;
(2)若AC=4cm,求DE的长;
(3)试利用“字母代替数”的方法,说明不论AC取何值(不超过12cm),DE的长不变.

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科目:初中数学 来源: 题型:

化简与计算
12
-﹙
3
3
-1+
3
3
-1﹚-20080-|
3
-2|
②先化简再求值﹙
1
x+2
-1﹚÷
x2+2x+1
x2-4
,其中x=
3
-2.

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科目:初中数学 来源: 题型:

计算:
(1)(-12)-5+(-14)-(-39)
(2)(
1
2
-
4
5
+
1
6
)×(-60)
(3)(-2)2×(-1)3-3×[-1-(-2)]
(4)(-
1
4
)×
3
14
÷(-0.25)×(-12)
(5)-14-(1-0.25)×
1
3
×[1-(-2)2]
(6)25×
3
4
-(-25)×
1
4
+25×
1
4

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科目:初中数学 来源: 题型:

将连续的偶数2,4,6,8,…,排成如表,请你解答问题.

(1)十字框中的五个数的和与中间的数字18有什么关系?
(2)设中间的数为x用式子表示十字框中的五个数的和.
(3)若将十字框上下左右移动,可框住另外的五个数,其它五个数的和可以分别等于2005和2010吗?如能,求出这五个数;如不能,说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,△ABC和△BDE均为等腰直角三角形,AD∥BC,DF=
2
AF,AH=1,则线段AG的长度为
 

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