分析 连接OC,易证AO⊥OC,OC=$\sqrt{3}$OA.由∠AOC=90°想到构造K型相似,过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,可证△AEO∽△OFC.从而得到OF=AE,FC=$\sqrt{3}$EO.设点A坐标为(a,b),则ab=2,可得FC•OF=6.设点C坐标为(x,y),从而有FC•OF=-xy=-6,即k=xy=-6.
解答 解:∵双曲线y=$\frac{2}{x}$关于原点对称,
∴点A与点B关于原点对称.
∴OA=OB.
连接OC,如图所示.
∵△ABC是等边三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB,∠BAC=60°,
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$,
∴OC=$\sqrt{3}$OA.
过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,
∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,
∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF,
∴△AEO∽△OFC.
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{OE}{CF}$=$\frac{OA}{OC}$.
∵OC=$\sqrt{3}$OA,
∴OF=$\sqrt{3}$AE,FC=$\sqrt{3}$EO.
设点A坐标为(a,b),
∵点A在第一象限,
∴AE=a,OE=b.
∴OF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$a,FC=$\sqrt{3}$EO=$\sqrt{3}$b.
∵点A在双曲线y=$\frac{2}{x}$上,
∴ab=2.
∴FC•OF=$\sqrt{3}$b•$\sqrt{3}$a=3ab=6.
设点C坐标为(x,y),
∵点C在第四象限,
∴FC=x,OF=-y.
∴FC•OF=x•(-y)=-xy=6.
∴xy=-6.
∵点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$上,
∴k=xy=-6.
点评 本题是反比例函数综合题,其中涉及到等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识,有一定的难度.由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键.
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A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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x(元) | … | 35 | 40 | 45 | 50 | … |
y(件) | … | 750 | 700 | 650 | 600 | … |
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A. | (2,-5) | B. | (5,-2) | C. | (-5,-2) | D. | (-2,5) |
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