Question

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D点，．以△ABC的中位线为直径作半圆O，试确定BC与半圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

答：BC与半圆O的位置关系为相切，
证明：过圆心O作OG⊥BC于G，
∵E，F是AB，AC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
设EF与AD交于点H，F为AC的中点，作FH∥BC，交AD于H，
∴FH是△ADC的中位线，
∴H为AD的中点，
∴DH=AD=BC，
∵OG⊥BC，HD⊥BC，EF∥BC，
∴OG=HD，
∴OG=BC=EF，
∵圆的半径为EF，
∴BC与半圆O的位置关系为相切．
分析：BC与半圆O的位置关系为相切，欲证BC于圆O相切，只需过圆心O作OG⊥BC于G，再证明OG之长等于圆的半径即可．
点评：本题考查了三角形的中位线和圆的切线的判定，如果已知条件没有给出直线与圆有公共点，则可自圆心向这条直线引垂线，再证明垂线长等于圆的半径即可．