分析 分点C、D位于AB的异侧和同侧两种情况考虑,过点A作AE⊥CD于点E,利用勾股定理及等腰直角三角形的性质求出AB、AC、DE、CE的长度,再由CD=CE+DE及CD=DE-CE可求出CD的长度,此题得解.
解答 解:当点C、D位于AB的异侧时,过点A作AE⊥CD于点E,如图1所示.
∵BD⊥MN,
∴∠ADB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴点A、B、C、D共圆.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=4,DB=2,
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+D{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ACB为等腰直角三角形,
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$.
∵∠ADE=∠ABC=45°,
∴△ADE为等腰直角三角形,
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$.
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,AC=$\sqrt{10}$,AE=2$\sqrt{2}$,
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$.
∴CD=CE+DE=3$\sqrt{2}$;
当点C、D在AB的同侧时,如图2所示.
同理可求出:DE=2$\sqrt{2}$、CE=$\sqrt{2}$,
∴CD=DE-CE=$\sqrt{2}$.
综上所述:CD的长为3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$.
故答案为:3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$.
点评 本题考查了勾股定理、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质,分点C、D位于AB的异侧和同侧两种情况考虑是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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