Question

15．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现
①当α=0°时，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；②当α=180°时，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据$\frac{EC}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，判断出△ECA∽△DCB，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少，进而判断出$\frac{AE}{BD}$的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．

解答 解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}=\sqrt{{（8÷2）}^{2}{+8}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴$AE=4\sqrt{5}÷2=2\sqrt{5}，BD=8÷2=4$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．

②如图1，，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}、\frac{\sqrt{5}}{2}$．

（2）如图2，，
当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{BD}$的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{EC}{DC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．

（3）①如图3，，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{{AC}^{2}{-CD}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{-4}^{2}}=\sqrt{80-16}=8$，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴$BD=AC=4\sqrt{5}$．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{{AC}^{2}{-CD}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{-4}^{2}}=\sqrt{80-16}=8$，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×（8÷2）=\frac{1}{2}×4$=2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
$\frac{AE}{BD}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=$\frac{6}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，BD的长为4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．