Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形“．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．

（1）点E（2，4），F（3，2），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形“的顶点的是　 　；

（2）若点M，P的“极好菱形”为正方形，求这个正方形另外两个顶点的坐标；

（3）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．

①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；

②当四边形MNPQ的面积为12，且与直线y＝x+b有公共点时，请写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）G；（2）正方形另外两个顶点的坐标为（1，3）、（3，1）；（3）①S四边形MNPQ＝4；②﹣6≤b≤6．

【解析】

（1）如图1中，观察图象可知：G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．

（2）先求得对角线PM的长，从而可得到正方形的边长，然后可得到这个正方形另外两个顶点的坐标．

（3）①先依据题意画出图形，然后可证明该四边形为正方形，从而可求得它的面积；

②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为12，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，推出Q，N的坐标，再利用一次函数性质解决问题即可．

解：（1）如图1中，由题意点M，P的“极好菱形“的顶点，在线段PM的垂直平分线上．

观察图象可知：满足条件的点是点G，

故答案为G．

（2）如图2所示：

∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），

∴MP＝2，

∵“极好菱形”为正方形，其对角线长为2，

∴其边长为2．

∴这个正方形另外两个顶点的坐标为（1，3）、（3，1）．

（3）①如图2所示：

∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），

∴MN＝2，PN⊥MN．

∵四边形MNPQ是菱形，

∴四边形MNPQ是正方形．

∴S四边形MNPQ＝4．．

②如图3所示：

∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），

∴PM＝2，

∵菱形MNPQ的面积为12，

∴S菱形MNPQ＝PMQN＝12，即×2×QN＝12，

∴QN＝6，

∴Q（﹣1，5），N（5，﹣1），

当直线y＝x+b经过点Q（﹣1，5）时，b＝6，

当y＝x+b经过点N（5，﹣1）时，b＝﹣6，

∴当四边形MNPQ与直线y＝x+b有公共点时，b的取值范围是﹣6≤b≤6．