Question

【题目】定义：若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数y=px+q和反比例函数y=，则二次函数y=px2+qxk为一次函数和反比例函数的“联姻”函数．
(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数y=x+3和反比例函数y=是否存在“联姻”函数，若存在，写出它们的“联姻”函数和实数对坐标．
(2)已知：整数m，n，t满足条件t<n<8m，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y=存在“联姻”函数y=(m+t)x2+(10mt)x2015，求m的值．
(3)若同时存在两组实数对坐标[x1,y1]和[x2,y2]使一次函数y=ax+2b和反比例函数y=为“联姻”函数，其中，实数a>b>c，a+b+c=0，设，求L的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)存在，实数对坐标为(1,2)，(2,1)；(2) m=2；(3) <L<2．

【解析】

(1)只需将y=x+3与y=组成方程组，并求出该方程组的解即可解决问题；
(2)根据题意得，解得.然后根据t<n<8m求出n的取值范围，进而求出m的取值范围，就可求出整数m的值；
(3)由a>b>c，a+b+c=0可得a>0，c<0，a>ac，ac>c，即可得到(2b)24ac>0，2<<12，由题可得x1+x2=2ba，x1x2=，从而得到

===2，利用二次函数的增减性并结合2<<即可得到L的取值范围．

(1)联立，
解得或．
则一次函数y=x+3和反比例函数y=存在“联姻”函数，它们的“联姻”函数为y=x2+3x2，实数对坐标为(1,2)，(2,1)；
(2)根据题意得：，
解得．
∵t<n<8m，
∴
解得6<n<24，
∴9<n+3<27，
∴1< <3，
∴1<m<3．
span>∵m是整数，
∴m=2；
(3)∵a>b>c，a+b+c=0，
∴a>0，c<0，a>ac，ac>c，
∴(2b)24ac>0，2<<
∴方程ax2+2bx+c=0有两个不相等的实根．
由题可得：x1、x2是方程ax+2b=cx即ax2+2bx+c=0的两个不等实根．
∴x1+x2=，x1x2=，
∴L= L=|x1x2|=

=
==
=

=，
∵2<<，
∴<L<2．