练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（ ）

    A．1
    B．2
    C．3
    D．4
    【答案】分析：如解答图所示：
    结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；
    结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；
    结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；
    结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．
    解答：解：（1）结论①正确．理由如下：
    ∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
    ∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
    ∴∠5=∠6，
    ∴AM=AE=BF．
    易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．
    在△ACM与△ABF中，
    ，
    ∴△ACM≌△ABF（SAS），
    ∴CM=AF；

    （2）结论②正确．理由如下：
    ∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，
    ∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，
    ∴CE⊥AF；

    （3）结论③正确．理由如下：
    证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，
    ∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，
    ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
    ∴△ABF∽△DAH；
    证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
    ∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．
    在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，
    ∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．
    在△ADG与△NCG中，
    ，
    ∴△ADG≌△NCG（SAS），
    ∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，
    ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
    ∴△ABF∽△DAH；

    （4）结论④正确．理由如下：
    证法一：∵A、D、C、G四点共圆，
    ∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
    ∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
    证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
    则∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°．
    ∵△ADG≌△NCG，
    ∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，
    ∴GD平分∠AGC．

    综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．
    故选D．
    点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．
    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案