Question

如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，∠MAB、∠NBA的平分线交于E．
（1）∠AEB是什么角？
（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？
（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：（1）根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EAB+∠EBA=90°，求出∠AEB=90°即可；
（2）延长AE交BN于F，求出AB=BF，根据等腰三角形的性质求出AE=EF，根据平行线分线段成比例定理得出即可；
（3）求出AD=CF，根据AB=BF=BC+CF即可得出答案．

解答：解：（1）∠AEB是直角，
理由是：∵AM∥BN，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠MAB、∠NBA的平分线交于E，
∴∠3=

1

2

∠DAB，∠1=

1

2

∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=180°-90°=90°，
即∠AEB是直角；

（2）DE=CE，
理由是：延长AE交BN于F，
∵AE平分∠DAB，
∴∠3=∠4，
∵AM∥BN，
∴∠4=∠BFA，
∴∠3=∠BFA，
∴AB=BF，
∵∠BEA=90°，
∴BE⊥AF，
∴AE=EF，
∵AM∥BN，
∴

DE

CE

=

AE

EF

，
∴DE=CE；

（3）AD+BC=AB，
理由是：∵AM∥BN，
∴

AD

CF

=

AE

EF

，
∵AE=EF，
∴AD=CF，
∵AB=BF=BC+CF=AD+BC，
即AD+BC=AB成立．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，角平分线定义的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，综合性比较强，难度适中．注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．